A demonstração que vi na internet é bem engenhosa. Um 'golpe de astúcia' do Euler. Mas ela parte da expansão do seno em série de Taylor. Esse tópico consta do currículo do ensino médio?

Cantor sob a influência de Weiertrass, se ocupou da teoria dos números irracionais. Seus estudos levaram à teoria moderna das séries trigonométricas, cujos coeficientes não necessariamente são supostos terem a forma integral de Fourier. Seus teoremas levam a um critério para a convergência de uma série trigonométrica. Os estudos rigorosos de matemáticos como Cantor e de físicos como Fourier nos ajudam a tirar o sentimento de arbitrariedade e insegurança quando somos confrontamos o infinito

A maioria de nós tem um sentimento de arbitrariedade e insegurança sobre se a soma de uma sequência infinita de números racionais pode ser um número irracional real. Cauchy chegou a dizer que um irracional era o limite de uma série infinita de frações, mas só podia ser definido quando já tivéssemos definido números reais. Weiertrass disse que não era necessário definir números reais como um limite. Cantor disse que Weiertrass escapou do erro de Cauchy ao definir reais de outra maneira.

O que sempre me deixou desconcertado com a soma em questão é o fato de termos parcelas que são números fracionais (frações) e no final obtermos um número que, não só não é racional, como é transcendental. É como se alguém me dissesse "vai somando aí essas jabuticabas, que no final você obtém uma jaca".

Jesus Amado da Goiabeira Frágil, seu Marcelo, minbota dinovo no primário, faz favor. Todavia, em oposição à depressão com minha jjjuumentice pessoal, se sua assertiva sobre a molecada de ensino médio for verdadeira, fico feliz por ela: que potência essa geração! Caríssimo, eu não podia ser matemático, tal pergunta *nunca* me ocorreria. "Qual a menor quantidade de linha pra costurar uma ceroula?", creio que seria minha melhor contribuição à ciência... Agora, só falta amanhecer chovendo! Hahahah!

Óilá, o mestre de todos nós, nos deu sua ' Fómula de Euler' eix = cos(x) + i.sen(x) como presente sagrado: x é o argumento real (em radianos);'e ' é a base do logaritmo natural; 'i' ao quadrado=1 {i}}^{2}=-1, onde 'i' é a unidade imaginária (número complexo);sen(x) e cos(x) são funções trigonométricas. Na forma logarítma, ln[cos(x) + isen(x)]=ix, em que ln é o logaritmo natural.

Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática: "Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós"!

Temos que agradecer a Weiertrass, Dedekind, Georg Cantor, a Riemann e a seu professor Dirichlet pelas suas concepções de números irracionais, séries infinitas, limite, e principalmente pelo tratamento rigoroso de tais questões fundamentais para a física e para a matemática. Tudo começou com Weiertrass em Berlim na introdução de suas aulas sobre funções analíticas. Isto é, com a teoria das funções.

Quando Marcelo diz que "o argumento de Euler é acessível a um bom aluno do ensino médio", eu fico preocupado.

Os físicos e os matemáticos contribuíram para o desenvolvimento da teoria das funções. Fourier dizia que a matemática apenas se justificava pela ajuda que ela dava em relação à solução de problemas físicos, e que o desenvolvimento de métodos matemáticos surgem de concepções físicas; que a matemática é um meio maravilhoso, potente e econômico de lidar logicamente e convenientemente com um imenso complexo de dados.

Antes de Weiertrass a introdução de número irracional era geométrica. Newton e Cauchy achavam que o número tem uma base geométrica. Georg Cantor trouxe a teoria dos números transfinitos mas muitos filósofos combateram por não terem entendido.

O físico Fourier, com o estudo da condução do calor, contribuiu para o desenvolvimento da teoria das funções e convergência de séries infinitas. Weiertrass introduz os irracionais de forma puramente aritmética. Os gregos tinham achado magnitudes geométricas incomensuráveis e não viam uma lógica entre a aritmética e a geometria, por causa dos argumentos de Zenão.

Maravilhoso, Marcelo! Por favor, prossiga.

Nunca imagine que veria a contante te Euler em um peça escrita na folha.