Marcelo Viana > Uma infinidade de infinitos Voltar
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Ele também mostrou que qualquer conjunto tem "mais" subconjuntos do que elementos. Assim, dado um conjunto infinito qualquer, sempre se pode construir um conjunto infinito “maior” (os seus subconjuntos). Isso implica em uma “hierarquia infinita de infinitos”.
Em resumo: Sua observação destaca com precisão como Cantor, ao desafiar dogmas estabelecidos há milênios (Aristóteles) e ao elevar uma ideia simples (correspondência um-a-um) ao status de princÃpio fundamental, não apenas tornou o infinito um objeto de estudo matemático rigoroso, mas também revelou uma de suas propriedades mais surpreendentes e fundamentais: o infinito vem em diferentes tamanhos. Foi uma verdadeira revolução no pensamento humano.
Controvérsia e Aceitação: As ideias de Cantor foram inicialmente rejeitadas por muitos matemáticos proeminentes (como Kronecker), gerando grande controvérsia. No entanto, sua elegância, poder e aplicações eventualmente levaram à sua aceitação e centralidade na matemática moderna. David Hilbert defendeu Cantor famosamente: "Ninguém nos expulsará do paraÃso que Cantor criou para nós."
Resolução de Paradoxos Antigos: A hierarquia de infinitos resolveu paradoxos antigos, como o Paradoxo de Galileu (onde os quadrados perfeitos parecem ser tantos quanto os números naturais, apesar de serem um subconjunto próprio).
Hierarquia do Infinito: A ideia de que existem infinitos de diferentes "tamanhos" foi uma das descobertas mais contraintuitivas e profundas da história da matemática, desafiando séculos de intuição filosófica.
Abstração Poderosa: Ele mostrou que a correspondência biunÃvoca é um conceito mais fundamental e poderoso para definir "tamanho" do que a contagem explÃcita, especialmente no reino do infinito.
Impacto e Significado Profundo: Fundação da Teoria dos Conjuntos: O trabalho de Cantor é o alicerce da teoria dos conjuntos, hoje linguagem universal da matemática.
"A prova é tão brilhante que foi depois usada por Kurt Gödel (1906 - 1978), Alan Turing (1912 - 1954) e muitos outros matemáticos. E tão simples que eu consigo explicar aqui." Fico imaginando se não fosse simples.
Acho que matemática é invenção; Platão achava que era descoberta. Platão que me perdoe. Temos falta de grandes filósofos ultimamente em todas as áreas. Será que com a IA isso mudará? Um novo Gödel virá no meio da IA? Quem pode ser indicado como o grande filósofo da matemática atualmente?
Por favor, Prof. Viana, escreva um artigo elaborando melhor porque você considera a matemática descoberta e não inventada. Gostaria muito de ler sua opinião sobre o assunto.
Então o conjunto de números entre 0 e 1 é maior que o cardinal de naturaisÂ… isso me lembra aquele pressuposto filosófico de que é impossÃvel imaginar um ponto solitário no universo, pois, ao assumir uma perspectiva para contemplá-lo, ele não está mais “sozinho”… esses axiomas, só mudam de lugar mesmoÂ…
Eu sempre achei muito interessante essa prova de que conjunto dos reais não é enumerável. Mas hoje, vejo que ela parte do conceito de número real como sendo uma sequência infinita de algarismos. Isso é verdade para o valor de convergência de algumas séries, como as que definem números como pi ou e. Se definirmos os reais como os racionais acrescidos dos limites da soma de todas as séries convergentes, me parece que o conjunto passa a ser enumerável, ou não?
A respeito do texto, não seria que o contÃnuo é o segundo menor dos infinitos (e não o segundo maior)? Pois o texto diz que há uma infinidade de outros cardinais maiores que o contÃnuo. Acho que não consegui compreender muito bem essa parte.
Um colega meu também acha que a matemática é invenção, mas sem fechar os olhos para a realidade. Mill era empirista e naturalista. Nossa imagem cientÃfica do mundo é moldada pelas teorias. O que não significa que criamos o mundo. Há realidade fora das teorias. A filosofia viveu uma época de ouro nos anos sessenta e setenta. O CÃrculo de Viena um divisor de águas. Depois se tornou muito especializada. César Lattes via tudo interligado. Não atribuÃa valor apenas aos modelos.
Se vc não consegue entender, professor, imagina nós mortais.
Se não há infinito atual, a matemática tem que ser inventada. E vice-versa. Quem, como eu, acha que ela tem que ser inventada não nega a prova de Cantor, mas a lê de outro modo, pois não vê sentido na hipótese de que haja "listas infinitas". Há, sim, listas que não têm fim. A prova de Cantor, nesse caso, mostra apenas que se escrevemos uma expansão decimal até qualquer ponto, podemos escrever uma outra expansão até o mesmo ponto. Um resultado trivial e desinteressante.
Desculpe, eu escrevi lebre ao invés de Aquiles. Assisti muito Perna-longa quando era criança!
A corrida da lebre e da tartaruga tem solução. Existe um critério de convergência que foi provado que, para certas somas infinitas, há a possibilidade de se chegar em um número finito, e este critério é verdadeiro para o argumento apresentado na famosa corrida.
Tipo a corrida entre Aquiles e a tartarugaÂ…
Noutras palavras, o interesse da prova de Cantor, para um aristotélico, é uma mi ragem. As perguntas que o aristotélico faz ao platônico são: Suponha que você tenha dado infinitos passos numa certa direção (dobrando a velocidade 1/2 segundo, p.ex.). Onde foi que você chegou após um certo tempo? Você pode continuar correndo depois disso? Como você faria para voltar? Após o primeiro passo no caminho de volta, o que você veria se olhasse para trás? Você teria saÃdo do lugar?
A definição de limites diz que função com h tendendo a mais infinito ou menos infinito vai depender se é uma função composta ou não, deveremos usar a derivação ou a segunda ou terceira derivação até a tangente se comporte como uma reta dentro do plano cartesiano. Se a função tende a h tendendo a infinito poderá ter assÃntotas verticais ou horizontais estudando o comportamento da função dentro do plano cartesiano.
Depois de Wallis, o sÃmbolo do infinito aparece novamente em Ars Conjectandi de James Bernoulli1713; o sÃmbolo também foi usado pelos romanos para denotar o número mil e se conjecturava que ele foi empregado para representar qualquer grande número. Na disputa entre descoberta e invenção, fico com a última. Acredito que tudo é teoria. A filosofia moderna da ciência com o falibilismo e o pragmatismo deixa tudo no plano teórico.
concepção matemática não é invenção de acordo com a lei de patentes, então deve ser descoberta...
Tema instigante. Eu penso que a matemática é uma linguagem de descrição do mundo. Começa contando: uma pedrinha, duas pedrinhas, três pedrinhas. E, assim como as linguagens naturais, chega à ficção, elucubrando acerca do que não existe, tal como a lista. Assim, na minha visão, a matemática é criada para descrever o mundo. Dizer que ela é descoberta é como dizer que o mundo foi descoberto, será que faz sentido? Não sei. Penso que é da mesma natureza das linguagens naturais, com regras diferentes.
Descoberta ou inventada? Um conjunto de pontos abstratos sem dimensão que formam em sua Relação, uma reta abstrata com dimensão. Cordas minúsculas (eufemismo) que vibram e produzem um tecido espaço-tempo, onde linhas e retas são emergentes e, ao mesmo tempo, postulados fundamentais. Penso que a resposta depende do ponto em que paramos de explicar a passamos a descrever.
Não domino a parte fÃsica do seu argumento, mas acho difÃcil dizer que a teoria não é inventada (seja uma teoria puramente geométrica, seja uma teoria fÃsica com uma geometria acoplada). Nós vemos bolas de bilhar. Não vemos massa, força ou aceleração. Prevemos o que acontece com as bolas de bilhar por meio de equações nas quais inserimos mensurações (do tempo, do espaço, etc.). É uma pena que este espaço seja tão pequeno. Obriga-nos a taquigrafar...
Comentário justo e que pode explicar o que não pode ser explicado e por destacar o descrição do infinito.
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